Lógica 08: Lógica de predicados de primer orden: introducción

Veamos el siguiente silogismo:

1. Todos los hombres son mortales.
2. Sócrates es un hombre.
3. Sócrates es mortal.

Por lógica de predicados de primer orden nos referimos a las oraciones que predican alguna propiedad de un sujeto. Cabe destacar que la formalización en la lógica de predicado es diferente de proposicional, porque si quisiéramos usar la lógica de predicados para nuestro argumento tendríamos algo como esto:

1. P
2. Q
3. R

Por lo que es imposible que pudiéramos validar nuestro argumento por medio de las reglas hasta ahora aprendidas. Pero la formalización en lógica de predicados no es complicada, y en este artículo te enseñaré a cómo hacerlo.

Volvamos a nuestro argumento del inicio. la segunda premisa es una proposición singular; afirma que el individuo Sócrates (término sujeto) posee la propiedad de ser humano (término predicado). Usamos letras minúsculas para denotar a los individuos en las proposiciones singulares, de la a a la w, tomando la primera letra del nombre del individuo para denotarlo y los llamaremos constantes individuales. Y utilizando el mismo principio, utilizamos letras mayúsculas para designar los atributos. De esta forma, Sócrates se simboliza con s, mientras que los atributos de “humano” y “mortal” con H y M.

La razón por la que usamos las letras de la ‘a’ a la ‘w’ para los individuos es porque la letra x se utiliza para simbolizar el patrón común de todas las proposiciones singulares: los individuos que tienen cierto atributo. En este caso, distintos individuos pueden poseer el atributo humano, así que para simbolizar “Algo es humano” utilizamos Hx. Expresiones de este tipo son consideradas funciones proposicionales, que contienen variables individuales que se convierten en proposiciones cuando estas variables son reemplazadas por constantes individuales. Por ejemplo, la x en la función proposicional Hx (algo es humano) puede ser reemplazada por s, obteniendo ahora la proposición singular Hs (Sócrates es humano). A este proceso se le llama instanciación, y la proposición singular obtenida se le considera instancia de sustitución. Es importante recordar estos conceptos, ya que los veremos más adelante cuando lleguemos a las reglas de inferencia para las proposiciones cuantificadas.

Una proposición general es del tipo “Todo es mortal” y “Algo es mortal”. Esta se distingue de la proposición singular en que no contienen nombres de individuos (ej. Sócrates es mortal). Mientras que una proposición singular se obtiene por instanciación, las proposiciones generales se obtienen por el proceso llamado generalización o cuantificación. Nuestro primer ejemplo, “Todo es mortal”, se parafrasea de la siguiente forma

Para toda cosa individual, esta es mortal.

Luego, utilizamos la x para referirnos a esa cosa individual

Para todo x, x es mortal.

Ahora, usamos nuestra notación para formar el enunciado

Para todo x, Mx.

Por último, la expresión “Para todo x” es un cuantificador universal y se simboliza ∀x. Ahora tenemos ya nuestra forma lógica de nuestra proposición general:

∀xMx

Lo mismo hacemos para la proposición general “Algo es mortal”:

Existe al menos una cosa que es mortal.

Existe al menos una cosa tal que esta es mortal.

Existe al menos un x tal que x es mortal.

Existe al menos un x tal que Mx.

“Existe al menos un x tal que” es un cuantificador existencial y se simboliza como ∃x. Ahora ya podemos tener nuestro símbolo para la presente proposición general:

∃xMx

De esto observamos que

• La cuantificación universal de una función proposicional es verdadera si y solo si todas sus instancias de sustitución son verdaderas (ej. Todo perro tiene pulgas).
• La cuantificación existencial de una función proposicional es verdadera si y solo si tiene al menos una instancia de sustitución verdadera (ej. Al menos un perro tiene pulgas).
• Si hay al menos un individuo, entonces toda función proposicional tiene al menos una instancia de sustitución (verdadera o falsa).
• Si la cuantificación universal de una función proposicional es verdadera, entonces su cuantificación existencial también lo es (ej. Si todo perro tiene pulgas, entonces algún un perro tiene pulgas).

Ahora, la negación de ∀x Mx (Para toda cosa individual, esta es mortal) es ∃x ¬Mx (Algo no es mortal), y la negación de ∃x Mx (Existe al menos una cosa que es mortal) es ∀x ¬Mx (Nada es mortal). Estableciendo la letra griega ? para representar cualquier símbolo de propiedad, podemos establecer las relaciones entre la cuantificación universal y existencial con el siguiente diagrama:

De nuestro diagrama observamos lo siguiente:

• (∀x ?x) y (∀x ¬?x) son contrarias; es decir, ambas pueden ser falsas, pero no pueden ser verdaderas. Ejemplo: Todos los perros tienen pulgas y Ningún perro tiene pulgas. Si estas proposiciones fuesen falsas, se sigue que al menos un perro tiene pulgas.
• (∃x ?x) y (∃x ¬?x) son subcontrarias; esto es, que ambas pueden ser verdaderas, pero no falsas. Ejemplo: Algún perro tiene pulgas y Algún perro no tiene pulgas. Si ambas fuesen verdaderas, esto solo quiere decir que estamos hablando de diferentes perros; pero si ambas son falsas, significaría que es verdad que Todo perro tiene pulgas y que Ningún perro tiene pulgas, lo cual ya vimos que no puede ser el caso.
• Luego (∀x ?x) y (∃x ¬?x) son contradictorias; por lo que una de ellas debe ser verdadera y otra falsa. Ejemplo: Todos los perros tienen pulgas y Algún perro no tiene pulgas. Es claro que ambas ni pueden ser verdaderas ni falsas al mismo tiempo y en el mismo sentido.
• (∀x ¬?x) y (∃x ?x) igualmente son contradictorias. Ejemplo: Ningún perro tiene pulgas y Algún perro tiene pulgas.
• Las subalternas (∀x ?x) y (∀x ¬?x) implican la verdad de (∃x ?x) y (∃x ¬?x) respectivamente, porque si es verdad (falso) que Todos los perros tienen pulgas, entonces Algún perro tiene pulgas también es verdad (falso); de la misma manera, si es verdad (falso) que Ningún perro tiene pulgas, entonces también Algún perro no tiene pulgas será verdad (falso).

Jairo Izquierdo Hernández es Director de Social Media y autor para la organización cristiana Cross Examined.  Estudia filosofía y teología, siendo su actual foco de estudio la lógica clásica, epistemología, doctrinas cristianas y lingüística.  Es cofundador de Filósofo Cristiano. Es miembro en la Christian Apologetics Alliance y ministro de alabanza en la iglesia cristiana bautista Cristo es la Respuesta en Puebla, México.