En la publicación anterior vimos acerca de la lógica de predicados y su lenguaje formal. Ahora hablaremos acerca de los cuantificadores.
CUANTIFICACIÓN UNIVERSAL
Las proposiciones universalmente cuantificadas son aquellas que hablan de un grupo o conjunto de todo o ninguno:
Afirmativa universal: Todos los humanos son mortales.
Negativa universal: Ningún humano es mortal.
Estas proposiciones tienen la forma del tipo “si… entonces”. Así, por ejemplo, cuando decimos que “Todos los humanos son mortales” lógicamente estamos diciendo, “Si algo es un humano, entonces es mortal”. Recordando en nuestra publicación anterior sobre la formalización de proposiciones del tipo sujeto-predicado, podemos ahora simbolizar nuestra afirmativa universal de la siguiente manera:
∀x (Hx → Mx)
Que se lee “Para todo x, si x es un humano, entonces x es mortal”. De la misma forma, simbolizamos nuestra negativa universal:
∀x (Hx → ¬Mx)
Que se lee “Para todo x, si x es un humano, entonces x no es mortal”.
CUANTIFICACIÓN EXISTENCIAL
Las proposiciones existencialmente cuantificadas son aquellas que hablan solo de algunos mientras de un grupo o conjunto:
Afirmativa existencial: Algunos humanos son mortales.
Negativa existencial: Algunos humanos no son mortales.
Estas proposiciones nos dicen que existe al menos una cosa que tiene o carece de la propiedad en cuestión y tienen la forma de conjunciones. Por ejemplo, la proposición “Algunos perros son pastores alemanes” no está informando que hay al menos un objeto en el mundo que es a la vez un perro y que es negro. Ahora podemos simbolizar nuestra afirmativa existencial:
∃x (Hx ^ Mx)
Que puede leerse como “Existe al menos un x, tal que x es un humano y x es un mortal”. Ahora simbolizamos nuestra negativa existencial:
∃x (Hx ^ ¬Mx)
Que se lee “Existe al menos un x, tal que x es un humano y x no es mortal”.
Por último, utilizando las letras griegas 𝛗 y 𝛙 para representar cualquier símbolo de propiedad, podemos representar nuestras proposiciones generales con el siguiente diagrama cuadrado:
Al analizar este cuadro podemos observar dos cosas:
- Las proposiciones [∀x (𝛗x → 𝛙x)] y ∃x [(𝛗x ^ ¬𝛙x)] son contradictorias. De este modo, de la afirmativa universal “Para cualquier x, si x es un perro, entonces x tiene pulgas” y la negativa existencial “Existe al menos un x, tal que x es un perro y no tiene pulgas”, solo una de ellas puede ser verdad.
- Las proposiciones [∃x (𝛗x ^ 𝛙x)] y [∀x (𝛗x → ¬𝛙x)] también son contradictorias. En otras palabras, de la afirmativa existencial “Existe al menos un x, tal que x es un perro y x tiene pulgas” y de la negativa universal “Para cualquier x, si x es un perro, entonces x no tiene pulgas” solo una puede ser verdad, pero no ambas.
Ahora, ¿qué pasa con las relaciones de contrarias de nuestro diagrama cuadrado de nuestra publicación anterior? ¿No deberían ser las proposiciones [∀x (𝛗x → 𝛙x)] y [∀x (𝛗x → ¬𝛙x)] ser igualmente contrarias donde ambas no pueden ser verdaderas, pero sí falsas? En realidad, no, y la razón es la siguiente: dado que las proposiciones cuantificadas universalmente tienen la forma de enunciados condicionales y si es el caso que el antecedente es falso, entonces no importa el valor de verdad del consecuente, la proposición será verdadera. Veamos un ejemplo con ambas proposiciones:
- Para cualquier x, si x es un planeta cuadrado, entonces x tiene una órbita.
- Para cualquier x, si x es un planeta cuadrado, entonces x no tiene una órbita.
Supongamos que el antecedente para ambas proposiciones es falso; mientras que el consecuente de (1) es verdadero pero falso para (2). Entonces, de acuerdo con las tablas de verdad para los enunciados condicionales[1], ambas proposiciones son verdaderas, por lo que la condición necesaria para ser proposiciones contrarias ya no se cumple (esto es, que ambas no pueden ser verdaderas).
En el caso de las proposiciones [∃x (𝛗x ^ 𝛙x)] y ∃x [(𝛗x ^ ¬𝛙x)] tampoco pueden ser subcontrarias (que ambas pueden ser verdaderas pero no falsas), ya que si “?x” es una función proposicional sin instancia de sustitución verdadera, entonces no importa lo que “?x” signifique, ambas proposiciones serán falsas, y la razón se debe a que las proposiciones existencialmente cuantificadas tienen la forma de conjunciones, y la tabla de verdad para este tipo de proposiciones nos dice que si el primer conyunto es falso, entonces la conjunción en su totalidad es falsa[2], por lo que la condición necesaria para ser subcontraria no se cumple. Veamos un ejemplo con proposiciones existenciales afirmativas y negativas respectivamente:
- Existe al menos un x, tal que x es un dragón y x es verde.
- Existe al menos un x, tal que x es un dragón y x no es verde.
Suponiendo que el primer conyunto es falso (x es un dragón) para ambas proposiciones, falso para el segundo conyunto de (3) y verdadero para (4), entonces, en ambos casos, las proposiciones son falsas.
Por último, la relación de implicación entre las subalternas del diagrama de la publicación anterior tampoco se da, ya que hemos visto que las proposiciones [∀x (𝛗x → 𝛙x)] y [∀x (𝛗x → ¬𝛙x)] pueden ser verdaderas mientras que las proposiciones [∃x (𝛗x ^ 𝛙x)] y [∃x [(𝛗x ^ ¬𝛙x)] pueden ser falsas, por lo que la verdad de una proposición cuantificada universalmente no implica la verdad de una proposición cuantificada existencialmente.
Notas
[1] Tabla de verdad para los condicionales:
| 𝛗 | 𝛙 | 𝛗 → 𝛙 |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Como se puede observar, si las instancias de sustitucion para ? son falsas, el condicional entero será verdadero.
[2] Tabla de verdad para las conjunciones:
| 𝛗 | 𝛙 | 𝛗 ^ 𝛙 |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Jairo Izquierdo es Director de Social Media y autor para la organización cristiana Cross Examined. Estudia filosofía y teología, siendo su actual foco de estudio la lógica clásica, epistemología, doctrinas cristianas y lingüística. Es cofundador de Filósofo Cristiano. Es miembro en la Christian Apologetics Alliance y ministro de alabanza en la iglesia cristiana bautista Cristo es la Respuesta en Puebla, México.